Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，
（1）求证：△ACE∽△ADC；
（2）如果CE=1，CD=2，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）由对顶角相等、等角的余角相等求得∠D=∠B；然后根据等腰三角形ABC的两个底角相等、等量代换推知∠D=∠ACE；最后由公共角∠EAC=∠CAD证明△ACE∽△ADC（AA）；
（2）设AC=AB=x．利用（1）中的∠D=∠B、直角三角形的正切三角函数的定义推知AE=

1

2

AB=

1

2

x；然后根据勾股定理求得AD=AE+ED=

x

2

+

5

；最后根据△ACE∽△ADC的对应边成比例列出关于x的方程，解方程即可．

解答：（1）证明：∵∠D=90°-∠DEC=90°-∠BEA=∠B（2分）
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠B，∴∠D=∠ACE（1分）
又∠EAC=∠CAD（公共角）（1分）
∴△ACE∽△ADC（AA）（2分）

（2）设AC=AB=x
∵

AE

AB

=tgB=tgD=

1

2

∴AE=

1

2

AB=

1

2

x（2分）
AD=AE+ED=

x

2

+

5

（1分）
∵△ACE∽△ADC，∴

AC

AD

=

EC

DC

，即AC•DC=EC•AD（2分）
所以有x•2=1•(

x

2

+

5

)
解之得x=

2

3

5

．（3分）

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形．解答该题时，利用三角函数的定义求相关线段间的数量关系是解题的关键．