Question

已知1+x+x²=0，那么1+x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁹+x²⁰¹⁰的值是

0

．

Answer 1

分析：1+x+x²+x³+…+x²⁰¹⁰可以整理为（1+x+x²）+（x³+x⁴+x⁵）+…+（x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁹+x²⁰¹⁰），经过两次提公因式可得（1+x+x²）（1+x³+x⁶+…+x²⁰⁰⁸）．

解答：解：1+x+x²+x³+…+x²⁰¹⁰=（1+x+x²）+（x³+x⁴+x⁵）+…+（x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁹+x²⁰¹⁰）
=（1+x+x²）+x³（1+x+x²）+…+x²⁰⁰⁸（1+x+x²）
=（1+x+x²）（1+x³+…+x²⁰⁰⁸）
由于1+x+x²=0，所以原式=0．

点评：考查了因式分解的应用，寻找公因式1+x+x²是此题的关键．