Question

14．观察算式：1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，…
（1）请根据你发现的规律填空：6×8+1=7²；
（2）用含n的等式表示上面的规律：n（n+2）+1=（n+1）²；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：$（1+\frac{1}{1×3}）（1+\frac{1}{2×4}）（1+\frac{1}{3×5}）…（1+\frac{1}{2013×2015}）$．

Answer 1

分析 （1）（2）等式的左边是相差为2的两个数相乘，再加上1；右边是两个数的平均数的平方，由此规律得出答案即可；
（3）利用以上规律，计算交错约分得出答案即可．

解答 解：（1）∵1×3+1=4=2²
2×4+1=9=3²
3×5+1=16=4²
4×6+1=25=5²
…
∴6×8+1=7²；
（2）由（1）可得出，第n个式子表达式为：n（n+2）+1=（n+1）²；
（3）原式=$\frac{1×3+1}{1×3}$×$\frac{2×4+1}{2×4}$×$\frac{3×5+1}{3×5}$×…×$\frac{2013×2015+1}{2013×2015}$
=$\frac{{2}^{2}}{1×3}$×$\frac{{3}^{2}}{2×4}$×$\frac{{4}^{2}}{3×5}$×…×$\frac{201{4}^{2}}{2013×2015}$
=$\frac{2×2014}{2015}$
=$\frac{4028}{2015}$．

点评 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．