Question

在△ABC中，AD是角平分线，AE是高线

① 如图①所示，∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠DAE。

② 如图②所示，∠ABC=30°，∠ACB=110°，求∠DAE。

③ 根据①、②两题的计算结果，请猜想∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的关系（用等式表示出来）

Answer 1

解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=70°，

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=70°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAC=×70°=35°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∵∠C=70°，

∴∠EAC=180°﹣90°﹣70°=20°，

∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=35°﹣20°=15°．

②∵∠ABC=30°，∠ACB=110°，

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=40°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAC=×40°=20°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∵∠C=110°，

∴∠EAC=∠ACB﹣∠AEC=110°﹣90°=20°，

∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=20°+20°=40°．

③∠DAE=∠ACB﹣∠ABC，理由如下：

分为两种情况：如图1，

∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]=90°﹣∠ABC﹣∠ACB，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∴∠CAE=90°﹣∠ACB，

∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=（90°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣（90°﹣∠ACB）=∠ACB﹣∠ABC；

如图2，

∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠BAC=×（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）=90°﹣∠ABC﹣∠ACB，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∴∠EAC=∠ACB﹣∠AEC=∠ACB﹣90°，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAD=90°﹣∠ABC﹣∠ACB+∠ACB﹣90°=∠ACB﹣∠ABC．