Question

5．用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的高度为x米，窗的透光面积（铝合金所占面积忽略不计）为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（结果要化成一般形式）；
（2）能否使窗的透光面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由；
（3）窗的高度为多少时，能使透光面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）设窗框的长为x米，则宽为$\frac{1}{3}$（6-2x）米，进而得出函数关系式即可；
（2）令y=2，代入函数关系式，则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可；
（2）根据面积公式列出二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．

解答 解：
（1）设窗框的长为x米，则宽为$\frac{1}{3}$（6-2x）米，
窗户的透光面积为：y=x•$\frac{1}{3}$（6-2x）=-$\frac{2}{3}$x²+2x；
（2）令y=2得：2=-$\frac{2}{3}$x²+2x，整理得：2x²-6x+6=0，
∵△=b²-4ac=-12＜0，
∴此方程无解，
∴不能使窗的透光面积达到2平方米；
（3）∵y=-$\frac{2}{3}$x²+2x=-$\frac{2}{3}$（x-1.5）²+1.5，
∵a=-$\frac{2}{3}$＜0，
∴y有最大值，当x=1.5时，y的最大值是1.5．
答：窗的高度1.5米时，能使透光面积最大，最大面积是1.5米²，

点评 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式是解题关键．