Question

如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；

（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；

（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）PN与⊙O相切。

（2）成立。

（3）。

【解析】

分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可。

（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案。

（3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°，进而由，利用扇形面积和三角形面积公式得出即可。

解：（1）PN与⊙O相切。证明如下：

连接ON，则∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN。

∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO。

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°。

∵ON是⊙O的半径，∴PN与⊙O相切。

（2）成立。理由如下：

连接ON，则∠ONA=∠OAN。

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN。

在Rt△AOM中，∵∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°。∴∠PNO=180°﹣90°=90°。

∵ON是⊙O的半径，∴PN与⊙O相切。

（3）连接ON，由（2）可知∠ONP=90°，

∵∠AMO=15°，PM=PN，

∴∠PNM=15°，∠OPN=30°。

∴∠PON=60°，∠AON=30°。

作NE⊥OD，垂足为点E，

则NE=ON•sin60°。

∴  

。