Question

如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC。
（1）点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

Answer 1

解：（1）A（0，4），C（8，0）；
（2） 易得D（3，0），CD=5， 设直线AC对应的函数关系式为，则，解得， ∴， ①当DE=DC时， ∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴， ②当ED=EC时，可得， ③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO， ∴， 即， ∴， 综上，符合条件的点E有三个：，，；
（3）如图，过点P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q， 设P，则Q， ①当时，PQ=， ， ∴， ②当时，PQ=， ， ∴， 故S=16时，相应的点P有且只有两个。