Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）设直线与x轴交于点A，连接OM、ON，求三角形OMN的面积；
（4）在平面直角坐标系中是否存在一点P，使以P，A，O，N为顶点的四边形为
平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵N点坐标为：（-1，-4），
∴xy=k=-1×（-4）=4，
∴反比例函数解析式为：y=，
∵M点也在反比例函数图象上，
∴2m=4，
∴m=2，
∴M点坐标为：（2，2），
∵一次函数y=ax+b，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：y=2x-2；

（2）根据图象可得出：当0＜x＜2或x＜-1时，反比例函数的值大于一次函数；

（3）∵一次函数解析式为：y=2x-2，
∴y=0时，x=1，
∴AO=1，
三角形OMN的面积为：S_△OAM+S_△OAN=×1×2+×1×4=3；

（4）∵AO=1，当AN为对角线，四边形ONP₁A为平行四边形，NP₁=1，且AO∥NP₁，
∴P₁（0，-4），
当AN为边，四边形OP₂NA为平行四边形，NP₂=1，且AO∥NP₂，
∴P₂（-2，-4），
当AN为边，四边形OP₃AN为平行四边形，AP₃=AN=，P₃到x轴距离为4，到y轴距离为2，且AP₃∥ON，
∴P₃（2，4），
综上所述：存在，使以P，A，O，N为顶点的四边形为平行四边形，P点坐标为：（0，-4），（-2，-4），（2，4）．
分析：（1）直接利用反比例函数图象上点的坐标性质得出反比例函数解析式，进而得出M点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用函数图象以及M，N点坐标得出即可；
（3）利用分割法分割三角形，由M，N点坐标，再利用三角形面积公式得出即可；
（4）利用平行四边形的性质得出P点坐标即可．
点评：此题主要考查了利用图象判断函数值的大小以及待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出是解题关键．