Question

（本小题满分7分）如图，四边形中，，
平分，交于．

小题1:（1）求证：四边形是菱形；
小题2:（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．

Answer 1

小题1:（1），即，又，四边形是平行四边形．
（2分）
平分，，    （3分）
又，，，，
四边形是菱形．
小题2:（2）证法一：是中点，．
又，，，         （5分）
，    （6分）
，．
即，是直角三角形．  （7分）
证法二：连，则，且平分，    （5分）
设交于．
是的中点，．（6分）
，是直角三角形．

分析：（1）根据两组对边分别平行证得四边形AECD是平行四边形，只需证明四边形AECD的两邻边相等即可．根据AC平分∠BAD，以及CE∥AD，易证得∠EAC=∠ECA，由此可知AE=CE，即四边形AECD是菱形；
（2）连DE，DE交AC于F，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分有：DE垂直平分AC，则EF是△ABC的中位线，有EF∥BC，则BC⊥AC，由此可证得△ABC是直角三角形．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：△ABC是直角三角形．
证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE．
又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，
设DE交AC于F，
∵E是AB的中点，且F为AC中点，
∴EF∥BC．∠AFE=90°，
∴∠ACB=∠AFE=90°，
∴BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．