Question

【题目】如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠DCB，且AD＝AB，CD＜CB

（1）求证：∠B+∠D＝180°；

（2）如图2，在AC上取一点E，使得BE∥CD，且BE＝CE，点F在线段BC上，连接AF，且AB＝AF，求证：AE＝CF；

（3）如图3，在（2）的条件下，若BE与AF交于点G，BF：AB＝2：7，求tan∠BGF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图4中，作AE⊥BC于E，作AF⊥CD交CD的延长线于F，先根据AAS证明△ACF≌△ACE，推出AF＝AE，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AEB，可得∠ADF＝∠B，进一步即可证得结论；

（2）如图5中，作AM∥EB交CB的延长线于M，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠CEB＝∠ECB＝∠EBC，则△BCE是等边三角形，进一步即可证得△ACM也是等边三角形，进而可得AE＝BM，然后根据AAS可证明△ACF≌△AMB，可得CF＝BM，继而可得结论；

（3）如图6中，作AM⊥BC于M，FK⊥BE于K，FN∥BE交AC于N．设BF＝2a，AB＝7a，进而可用a的代数式依次表示出FM、BM、AM、CM，易证△CNF是等边三角形，进一步即可表示出FN、EN，易得△AEG∽△ANF，然后利用相似三角形的性质即可用含a的代数式表示出EG，进而可得GB，而在直角△BFK中，FK、BK易得，问题即得解决．

解：（1）证明：如图4中，作AE⊥BC于E，作AF⊥CD交CD的延长线于F．

∵∠AFC＝∠AEC＝90°，∠ACF＝∠ACE，AC＝AC，

∴△ACF≌△ACE（AAS），∴AF＝AE，

∵AD＝AB，∠F＝∠AEB＝90°，

∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），∴∠ADF＝∠B，

∵∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°；

（2）证明：如图5中，作AM∥EB交CB的延长线于M．

∵BE＝EC，∴∠ECB＝∠EBC，

∵CD∥BE，∴∠DCE＝∠CEB，

∵∠DCE＝∠ECB，

∴∠CEB＝∠ECB＝∠EBC＝60°，

∴△ECB是等边三角形，

∵EB∥AM，∴∠CEB＝∠CAB＝60°，∠CBE＝∠M＝60°，

∴△ACM是等边三角形，∴CA＝CM，

∵CE＝CB，∴AE＝BM，

∵AF＝AB，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠AFC＝∠ABM，

又∵AC＝AM，∠ACF＝∠M＝60°，

∴△ACF≌△AMB（AAS），

∴CF＝BM，∴AE＝CF；

（3）解：如图6中，作AM⊥BC于M，FK⊥BE于K，FN∥BE交AC于N．

∵FB：AB＝2：7，∴设BF＝2a，AB＝7a，

∵AF＝AB，AM⊥BF，∴FM＝BM＝a，

∴AM＝，

∵∠ACM＝60°，∴AM＝CM，∴CM＝4a，CF＝AE＝CM－FM＝3a，

∵FN∥BE，∴∠CNF＝∠CEB＝60°，∠CFE＝∠CBE＝60°，∴△CNF是等边三角形，

∴CF＝CN＝FN＝3a，EN＝BF＝2a，AN=AE+EN=5a，

∵EG∥FN，∴△AEG∽△ANF，∴，即，

∴EG＝a，BG＝EB﹣EG＝5a﹣a＝a，

在Rt△BFK中，∵BF＝2a，∠FBK＝60°，∴BK＝a，FK＝a，

∴GK＝BG﹣BK＝a﹣a＝a，

∴tan∠FGB＝=．