Question

9．如图，在?ABCD中，AC=2，∠ADB=90°，∠BCD=45°，求BD的长．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=45°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=1，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，得出△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD=2OD，设OD=x，则AD=BD=2x，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出BD的长．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=45°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=1，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=2OD，
设OD=x，则AD=BD=2x，
由勾股定理得：OD²+AD²=OA²，
即x²+（2x）²=1²，
解得：x=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$（负值舍去），
∴x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．