Question

12．如图，正方形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别为AB、BC边上的点，且∠MON=90°，由OE平分∠MON交BC边于点E，连接ME．则下列结论：
①△BOM≌△CON；②ME=EN；③BE²+CN²=ON²；④EO²=EN•EC．
其中正确的结论是①②④（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①正确．根据ASA即可证明；
②正确．只要证明△EOM≌△EON，可得EM=EN；
③错误．易证BE²+CN²=EM²，显然EM≠ON，故③错误；
④正确．只要证明△OEN∽△CEO，可得$\frac{OE}{CE}$=$\frac{EN}{OE}$，由此即可证明；

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，AC⊥BD，
∴∠MON=∠BOC=90°，
∴∠BOM=∠CON，
在△BOM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOM=∠CON}\\{OB=OC}\\{∠OBM=∠OCN}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△CON，故①正确，
∴OM=ON，BM=CN，
∵∠EON=∠EOM=45°，EO=EO，
∴△EOM≌△EON，
∴EM=EN，故②正确，
在Rt△EMB中，BE²+BM²=EM²，
∴BE²+CN²=EM²，显然EM≠ON，故③错误，
∵∠EON=∠ECO，∠OEN=∠OEC，
∴△OEN∽△CEO，
∴$\frac{OE}{CE}$=$\frac{EN}{OE}$，
∴OE²=EN•EC，故④正确．
故答案为①②④

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．