Question

探索：
（1）如图（1），在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线．若∠A为x°，则∠BOC=______；
（2）如图（2），BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线，若∠A为x°，则∠BOC=______；
（3）如图（3）O、M分别是△ABC的内外角平分线的交点，如果∠BOC：∠BMC=3：2，则∠A=______．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°，
∴∠BOC+∠OCB=（180°-∠A）=×（180°-x°）=90°-，
故∠BOC=180°-（90°-）=90°+；

（2）∵BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线∠A为x°，
∴∠BCO=（∠A+∠ABC），∠OBC=（∠A+∠ACB），
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC=180°-[∠A+（A+∠ABC+∠ACB）]=180°-（∠A+180°）=90°-；

（3）设∠A=x°，
∵O、M分别是△ABC的内外角平分线的交点，由（1）（2）得∠BOC=90°+．∠BMC=90°-，
∵∠BOC：∠BMC=3：2，
即=，
即3（90°-）=2（90°+），
解得x=36°
则∠A=36°．
分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°-，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO=（∠A+∠ABC），∠OBC=（∠A+∠ACB），根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°-；
（3）根据（1）（2）的结论及三角形内角和定理可得x=36°．
点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．