Question

探索：
（1）如图（1），在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线．若∠A为x°，则∠BOC=

 

；
（2）如图（2），BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线，若∠A为x°，则∠BOC=

 

；
（3）如图（3）O、M分别是△ABC的内外角平分线的交点，如果∠BOC：∠BMC=3：2，则∠A=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据三角形角平分线的性质可得，∠BOC+∠OCB=90°-

x°

2

，根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+

x°

2

；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO=

1

2

（∠A+∠ABC），∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°-

x°

2

；
（3）根据（1）（2）的结论及三角形内角和定理可得x=36°．

解答：解：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°，
∴∠BOC+∠OCB=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

×（180°-x°）=90°-

x°

2

，
故∠BOC=180°-（90°-

x°

2

）=90°+

x°

2

；

（2）∵BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线∠A为x°，
∴∠BCO=

1

2

（∠A+∠ABC），∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC=180°-

1

2

[∠A+（A+∠ABC+∠ACB）]=180°-

1

2

（∠A+180°）=90°-

x°

2

；

（3）设∠A=x°，
∵O、M分别是△ABC的内外角平分线的交点，由（1）（2）得∠BOC=90°+

x°

2

．∠BMC=90°-

x°

2

，
∵∠BOC：∠BMC=3：2，
即

90°+ x° 2

90°- x° 2

=

3

2

，
即3（90°-

x°

2

）=2（90°+

x°

2

），
解得x=36°
则∠A=36°．

点评：此类题目比较简单，考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．