Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接CD、OD．下列四个结论：①ACOD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正确结论的序号是（ ）

A.①④B.①②④C.②③D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

如图，利用圆周角定理得∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠2=∠3，于是可对①进行判断；利用AC∥OD可判定△ACE∽△DOE，则，再判定△AOC为等腰直角三角形得到AC=OA=OD，所以CE=OE，于是可对②进行判断；利用圆周角定理得到∠COD=2∠1，则根据相似三角形的判定方法可对③进行判断；利用圆周角定理可计算出∠ADC=45°，而∠BOD=45°，则可对④进行判断．

解：如图，

∵点D是的中点，

即，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴AC∥OD，所以①正确；

∴△ACE∽△DOE，

∴，

∵OC⊥OA，

∴△AOC为等腰直角三角形，

∴AC=OA=OD，

∴

∴CE=OE，所以②错误；

∵点D是的中点，

∴∠BOD=∠COD

∵∠BOD=2∠1

∴∠COD=2∠1，

而∠ODE=∠ADO，

∴△ODE与△ADE不相似，所以③错误；

∵∠ADC=∠AOC=45°，∠BOD=∠BOC=45°，

∴∠ADC=∠BOD，所以④正确．

∴正确的结论是①④，

故选：A．