题目内容
（本题14分）如图，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4）．动点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，同时动点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=
．解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）直接写出t的取值范围；
（3）连接AQ并延长交x轴于点E，把AQ沿AD翻折，点Q落在CD延长线上点F处，连接EF．
①t为何值时，PQ∥AF；
②△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．
（1）D（8，4）；（2）0＜t＜4；（3）①t=6-
②结论：△AEF的面积S不变化， S=32.
【解析】
试题分析：（1）因为矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），所以设OC=x，在Rt△PCQ中，由勾股定理求出x的值即OC的长即可得出点D的坐标；（2）因为当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，所以根据点D的坐标（8，4）可得t的取值范围；（3）①由PQ∥AF，可证△CPQ∽△DAF，所以可得
，由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，代入比例式可得关于t的方程，然后解方程即可；②证明△AQD∽△EQC，从而用t表示出线段CE的长，然后利用S=S梯形AOCF+S△CEF-S△AOE，利用公式代入化简整理得出一个常数32，得证.
试题解析：【解析】
（1）由题意可知：当t=2秒时，OP=4，CQ=2，
设OC=x，则PC=x-4，
∵在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+CQ2=PQ2，
∴（x-4）2+22=（
）2，-----2分
x1=8，x2=0（不符合题意舍去），
∵矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），∴D（8，4）.
（2）∵D（8，4），∴t的取值范围是：0＜t＜4.
（3）①∵PQ∥AF，∴∠PQC=∠AFD，
∵∠ADF=∠PCQ=90°，∴△CPQ∽△DAF，
∴，由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，
∴
，化简得
，
t1=6+，t2=6-，
由（2）知0＜t＜4，∴t1=6+＞4舍去，
∴当t=6-时，PQ∥AF；---8分
②结论：△AEF的面积S不变化.
理由是：∵四边形AOCD是矩形，∴AD∥OE，
∴∠DAQ=∠CEQ,∵∠DQA=∠CQE,∴△AQD∽△EQC，
∴
，∴
，
，
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，则CF=CD+DF=8-t，
∴S=S梯形AOCF+S△CEF-S△AOE
=
（OA+CF）×OC+CF×CE-OA×OE
=[4+（8-t）]×8+（8-t）×
-×4×（8+）=32（定值）.
∴△AEF的面积S不变化，S=32．
考点：1.点的坐标；2.矩形的性质；3.勾股定理；4. 图形翻折的性质；5.相似三角形的判定与性质.
53随堂测系列答案
与x轴交于点B（1，0），直线l2：
与y轴交于点C，这两条直线交于A（2，a）．
B．
C．
D．
是无理数 
的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数
的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．
时，
的解集．
