题目内容

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边A0与AB重合，得到△ABD．

 (1)求点B的坐标；

(2)当点P运动到点(，0)时，求此时点D的坐标；

(3)在点P运动的过程中是否存在某个位置，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

【答案】

（1）(2，2)（2）(，)(3) P1 (，0)，P2(一，0，P3(-，0)，P4(，0)

【解析】解：(1)点B的坐标是(2，2)                                    

 (2)如图D3—7，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．

∴BG=BD·cos60°=×=．DG=BD·sin60°=×=．

                                                    

∴OH=EG=, DH=．∴点D的坐标为(，)．

(3)假设存在点P，在它的运动过程中，△OPD的面积等于．

设点P的坐标为(t，0)，下面分三种情况讨论：

①t>0时，如图D3—8，BD=OP=t，DG=t，

∴DH=2+t．∵△OPD的面积等于，∴t(2+t)=，

解得t1=,t2= (舍去)．

∴点P1的坐标为(，0)．                   

②当-<t≦0时，如图3-9，BD=OP=-t,BG=-t

∴DH=GF=2-(-t)=2+t

∵△OPD的面积等于．∴-t(2+t)= ，

解得t1=-，t2=-．   

∴点P2的坐标为(一，0)，点P3的坐标为(-，0)    

③当t≤-时，如图D3-10,BD=0P=-t，DG=-t，

∴DH=-t-2．∵OPD的面积等于，∴t(2+t)=

解得t1= (舍去)，t2=．

∴点P4的坐标为(，0)．                           

综上所述，点P的坐标分别为P1 (，0)，P2(一，0，P3(-，0)，P4(，0)

 (1)过B作x轴的垂线，根据直角三角形的性质求出B点的坐标

(2) 过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH，利用三角函数求出DG的长，通过OH=EG和DH的长，确定点D的坐标

(3) 假设存在点P，在它的运动过程中，△OPD的面积等于．分三种情况进行讨论，分别求得点P的坐标

 

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BD
AB
=
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