Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，BC=1，AC=

3

．
（1）求∠B的度数；
（2）求梯形ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）由AC⊥BC，BC=1，AC=

3

，在Rt△ABC中，利用∠B的正切，即可求得∠B的度数；
（2）根据（1）即可求得∠CAB的度数，AB的长，然后由AB∥CD，AD=BC，证得CD=AB=BC=1，则可求得梯形ABCD的周长．

解答：解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=1，AC=

3

．
∴tan∠B=

AC

BC

=

3

，
∴∠B=60°；

（2）∵∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，
∵AD=BC，
∴∠DAB=∠B=60°，
∴∠DAC=30°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB=30°，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD=BC=1，
在Rt△ABC中，AB=2BC=2，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+DA=2+1+1+1=5．

点评：此题考查了直角三角形的性质，三角函数的性质，勾股定理以及等腰梯形的性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．