题目内容

如图，过点B（2，0）的直线l： $数学公式$ 交y轴于点A，与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于点C（3，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′．当OC′⊥AB时，求点C运动的路径长．

解：（1）∵点B（2，0）在直线l： $\text{[math]}$ 上，
∴2k+2 $\text{[math]}$ =0，
∴k=- $\text{[math]}$ ，
直线l的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ ，
∵点C（3，n）在直线y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ 上，
∴- $\text{[math]}$ ×3+2 $\text{[math]}$ =n，
n=- $\text{[math]}$ ，
∴C点坐标是（3，- $\text{[math]}$ ），
∵C（3，- $\text{[math]}$ ）在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴m=-3 $\text{[math]}$ ，
∴反比例函数的解析式是：y=- $\text{[math]}$ ；

（2）过C点作CE⊥x轴于E，如图，
∵C点坐标是（3，- $\text{[math]}$ ），
∴OC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∵点A是直线y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ 与y轴交点，

∴AO=2 $\text{[math]}$ ，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC，
又∵OB=2，
∴AB= $\text{[math]}$ =4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°，
∵OC′⊥AB，
∴∠C′OC=60°，
点C的运动路径的长度= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用待定系数法把B（2，0）代入直线l $\text{[math]}$ 的解析式可以算出k的值，继而得到直线l的解析式，再把C点坐标代入直线l的解析式可以算出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数y= $\text{[math]}$ 即可得到反比例函数的解析式；
（2）首先根据题意画出图形，证明AO=CO，根据等边对等角可得∠ACO=∠OAC，再利用勾股定理计算出AB的长，继而得到∠OAC的度数，也就是得到了∠ACO的度数，再由条件OC′⊥AB计算出∠C′OC的度数，再根据弧长公式计算出点C运动的路径长．
点评：此题主要考查了利用待定系数法求一次函数、反比例函数关系式，以及旋转和弧长公式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析式，求出∠C′OC的度数是解决第二问的关键．