在矩形ABCD中.AB=4cm.AD=6cm.延长AB到E.使BE=2AB.连接CE.动点F从A出发以2cm/s的速度沿AE方向向点E运动.动点G从E点出发.以3cm/s的速度沿E→C→D方向向点D运动.两个动点同时出发.当其中一个动点到达终点时.另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒．(1)当t为何值时.FC与EG互相平分,(2)连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，延长AB到E，使BE=2AB，连接CE，动点F从A出发以2cm/s的速度沿AE方向向点E运动，动点G从E点出发，以3cm/s的速度沿E→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设动点运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，FC与EG互相平分；
（2）连接FG，当t＜$\frac{10}{3}$时，是否存在时间t使△EFG与△EBC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）设△EFG的面积为y，求出y与t的函数关系式，求当t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

分析（1）先判断出四边形CEFG是平行四边形，再用对边相等建立方程求解即可得出结论；
（2）分两种情况用相似三角形的对应边成比例建立方程求解即可；
（3）分点G在CE和CD上，用三角形的面积即可．

解答解：（1）如图1，
∵AB=4，∴BE=2AB=8，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得，CE=10，
由运动知，CG=3t-10，EF=AB+BE-2t=12-2t．
∵FC与EG互相平分，
∴点G必在CD边上，
∴四边形CEFG是平行四边形，
∴CG=EF，
∴3t-10=12-2t，
∴t=$\frac{22}{5}$；

（2）∵当t＜$\frac{10}{3}$时，点G在CE上，
∵△EFG与△EBC相似，
当△EFG∽△EBC时，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{EG}{EC}$，
∴$\frac{12-2t}{8}=\frac{3t}{10}$，
∴t=$\frac{30}{11}$，
当△EGF∽△EBC时，
∴$\frac{EG}{BE}=\frac{EF}{EC}$，
∴$\frac{3t}{8}=\frac{12-2t}{10}$，
∴t=$\frac{48}{23}$；

（3）当点G在CE上时，即：0＜t≤$\frac{10}{3}$，如图3，
过点G作GM⊥BE，
∴GM∥BC，
∴△EMG∽△EBC，
∴$\frac{GM}{BC}=\frac{EG}{EC}$，
∴$\frac{GM}{6}=\frac{3t}{10}$，
∴GM=$\frac{9}{5}$t，
∴y=S_△EFG=$\frac{1}{2}$EF•GM=$\frac{1}{2}$×（12-2t）×$\frac{9}{5}$t=-$\frac{9}{5}$t²+$\frac{54}{5}$t=-$\frac{9}{5}$（t-3）²+$\frac{81}{5}$；
当t=3时，y最大=$\frac{81}{5}$．
当点G在CD上时，即：$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{14}{3}$，
y=S_△EFG=$\frac{1}{2}$EF×BC=$\frac{1}{2}$（12-2t）×6=-6t+36．
即：t=3时，y最大=$\frac{81}{5}$．

点评此题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，用方程的思想是解本题的关键，注意分类讨论的思想的应用．

试题分类