Question

14．已知：如图1所示，在菱形ABCD中，以AB为直径的⊙O交AC于点E，EF⊥BC于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若菱形的边长为4，∠ABC=120°，求出AC的值；
（3）在第（2）问的条件下，求图2中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，先证明OE∥BC，再由EF⊥BC，得出EF⊥OE，即可证出EF是⊙O的切线；
（2）连接BE，先由菱形的性质得出BE⊥AC，∠BCA=∠BAC=30°，再根据三角函数求出AE，即可得出AC；
（3）作EG⊥AB于G，先求出EG，阴影部分的面积=△AOE的面积+扇形OBE的面积．

解答 （1）证明：连接OE，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠1=∠2，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE、OE，如图1所示：
则∠ABE=90°，
∵AB=BC=4，∠ABC=120°，
∴BE⊥AC，∠BCA=∠BAC=30°，
∴AE=AB•cos∠BAC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2AE=4$\sqrt{3}$；
（3）解：作EG⊥AB于G，如图2所示：
则EG=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{3}$，
∵OA=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴阴影部分的面积=△AOE的面积+扇形OBE的面积=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$+$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\sqrt{3}$+$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、菱形的性质、锐角三角函数、圆周角定理以及扇形面积的计算方法；熟练掌握切线的判定和菱形的性质，并能进行有关运算是解决问题的关键．