Question

如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的长分别是抛物线y=x²+2mx+m²-9与x轴的两个交点的横坐标．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接BO，根据垂径定理与圆周角定理可得∠BAC=∠BOQ，再根据等角的补角相等可得∠BOD=EAD，然后证明△BOD和△EAD相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到OD、OE的关系，再根据相交弦定理列式整理出AD、BD的关系，从而得到OD•OE的值，令y=0，根据抛物线与x轴的交点问题用m表示出OD•OE，从而得到关于m的方程，求解得到m的值，再根据OD、OE都是正数，且是抛物线与x轴的交点的横坐标可得抛物线对称轴在y轴的右边求出m的取值范围，从而得到m的值，代入抛物线计算即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出与x轴的两个交点坐标分别为（2，0）（8，0），①当直线l经过左边交点时，直线l平行于y轴，原点到直线l的距离是2；②当直线l经过右边交点时，是交点为L，过点O作OM⊥l与点M，过点M作MN⊥x轴于点N，则OM=2，根据相似三角形对应边成比例列式求出ON的长度，再利用勾股定理求出MN的长度，然后分点M在x轴上方与下方两种情况，利用待定系数法求直线解析式求出直线l的解析式．

解答：解：（1）如图，连接BO，∵OQ⊥BC与F，
∴

QB

=

QC

，
∴∠BAC=∠BOQ，
∵∠BOD=180°-∠BOQ，∠EAD=180°-∠BAC，
∴∠BOD=EAD，
又∵∠BDO=∠EDA（对顶角相等），
∴△BOD∽△EAD，
∴

OD

AD

=

BD

DE

，
∴AD•BD=OD•DE，
根据相交弦定理AD•BD=DQ•DP，
∴OD•DE=DQ•DP，
∵圆的半径为4，
∴OD（OE-OD）=（4+OD）（4-OD），
整理得，OD•OE=16，
令y=0，则x²+2mx+m²-9=0，
∵OD、OE是抛物线与x轴的交点的横坐标，
∴OD•OE=m²-9，
∴m²-9=16，
解得m=±5，
∵线段OD、OE的长度都是正数，
∴-

b

2a

=-

2m

2×1

=-m＞0，
解得m＜0，
∴m=-5，
∴抛物线解析式为y=x²-10x+16；

（2）存在．
理由如下：令y=0，则x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
所以，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（8，0），
①当直线l经过点（2，0）时，直线l平行于y轴时，原点到直线l的距离为2，
所以，直线l的解析式为x=2；
②当直线l经过点（8，0）时，如图，设点L（8，0），
过点O作OM⊥l与点M，过点M作MN⊥x轴于点N，则OM=2，
∵∠OML=∠MNO=90°，∠MON=∠LOM，
∴△OMN∽△OLM，
∴

OM

OL

=

ON

OM

，
即

2

8

=

ON

2

，
解得ON=

1

2

，
在Rt△OMN中，MN=

OM2-ON2

=

22-( 1 2 )2

=

15

2

，
设直线l的解析式为y=kx+b，
当点M在x轴上方时，点M的坐标为（

1

2

，

15

2

），
则

1 2 k+b= 15 2 8k+b=0

，
解得

k=- 15 15 b= 8 15 15

，
此时直线l的解析式为y=-

15

15

x+

8 15

15

，
当点M在x轴下方时，点M的坐标为（

1

2

，-

15

2

），
则

1 2 k+b=- 15 2 8k+b=0

，
解得

k= 15 15 b=- 8 15 15

，
此时直线l的解析式为y=

15

15

x-

8 15

15

，
综上所述，存在直线l：x=2或y=-

15

15

x+

8 15

15

或y=

15

15

x-

8 15

15

使原点到l的距离为2．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了垂径定理，圆周角定理，相交弦定理，抛物线与x轴的交点问题，根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线解析式，综合性较强，难度较大，（1）作出辅助线构造出相似三角形然后求出OD•OE=16是解题的关键，（2）注意要分情况讨论求解．