Question

18．已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求下列各式的值：
（1）a+a^-1：
（2）a²+a^-2；
（3）a${\;}^{\frac{3}{2}}$+a${\;}^{-\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，等号两边同时平方，可以求得答案；
（2）根据第一问的答案，两边平方可以求得问题的答案；
（3）根据立方和公式和题意、第一问的答案，可以求得此小题的答案．

解答 解：（1）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}=9$
即a+a^-1+2=9
得a+a^-1=7；
（2）∵a+a^-1=7
∴（a+a^-1）²=49
即a²+a^-2+2=49
得a²+a^-2=47；
（3）∵${a}^{\frac{3}{2}}+{a}^{-\frac{3}{2}}$=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）（a-1+{a}^{-1}）$，a+a^-1=7，a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）（a-1+{a}^{-1}）$=3×（7-1）=3×6=18，
即a${\;}^{\frac{3}{2}}$+a${\;}^{-\frac{3}{2}}$=18．

点评 本题考查分数指数幂和负整数指数幂，解题的关键是灵活变化使得所求问题与已知建立关系．