题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，抛物线
的开口向上，且经过点
.
（1）若此抛物线经过点
，且与
轴相交于点
.
①填空：
（用含
的代数式表示）；
②当
的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若
，当
，抛物线上的点到
轴距离的最大值为3时，求
的值.
【答案】（1）①﹣2a﹣1，②抛物线解析式为y=x2﹣3x+
；（2）1或﹣5.
【解析】
试题分析：（1）①由A点坐标可求得c，再把B点坐标代入可求得b与a的关系式，可求得答案；②用a可表示出抛物线解析式，令y=0可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可用a表示出EF的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时a的值，可求得抛物线解析式；
（2）可用b表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为x=﹣b，由题意可得出当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值．
试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，），
∴c=，∵抛物线经过点B（2，
），∴=4a+2b+，
∴b=﹣2a﹣1，故答案为﹣2a﹣1；
②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a+1）x+，
令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+=0，
∵△=（2a+1）2﹣4a×=4a2﹣2a+1=4（a﹣
）2+
＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=
，
∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+；
（2）当a=
时，抛物线解析式为y=x2+bx+，
∴抛物线对称轴为x=﹣b，
∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，
当x=0时，y=，当x=1时，y=+b+=2+b，当x=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）+=﹣b2+，
①当|2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在0＜x＜1范围内，满足条件；
②当|﹣b2+|=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在0＜x＜1范围内，故不符合题意，
综上可知b的值为1或﹣5．
