Question

已知：在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=10，DC=13，tanA=

3

4

．
（1）求AB的长；
（2）设点E是线段AB上的点，当BE等于多少时，△AED与△BCE相似？

Answer 1

分析：（1）作辅助线DF⊥AB，CH⊥AB垂足分别为F、G，利用三角函数以及勾股定理求出DF，AF，AB的值．
（2）证明△ADE∽△BCE（

AD

BC

=

AE

BE

得出BE=

1

2

AB），再证明△ADE∽△BEC得出BE（AB-BE）=AD•BC，求出BE．

解答：解：（1）作DF⊥AB，CH⊥AB垂足分别为F、G．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AF=BH，FH=DC=13．
在Rt△ADF中，tanA=

DF

AF

=

3

4

，
设DF=3x，则AF=4x，
由勾股定理AF²+DF²=AD²
∴（4x）²+（3x）²=10²解得：x=2，
∴AF=BH=8．
∴AB=8+13+8=29．

（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠B．
当

AD

BC

=

AE

BE

时，△ADE∽△BCE，此时

AD

BC

=

AE

BE

=1，
∴BE=

1

2

AB=

29

2

．
当

AD

BE

=

AE

BC

时，△ADE∽△BEC，
此时BE（AB-BE）=AD•BC．
∴BE（29-BE）=10×10．
解得：BE=4或BE=25．
∴当BE=4或

29

2

或25，△AED与△BCE相似．

点评：本题考查的等腰梯形的性质，相似三角形的判定定理以及勾股定理的理解及运用．