Question

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，①求圆的半径；②求DE、DF的长．

Answer 1

（1）证明：
连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠CAD，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∵DE⊥AD，
∴OE⊥DE，
∵OE为半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：①设⊙O的半径是r，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
由勾股定理得：OE²+CE²=OC²，
即r²+4²=（r+2）²，
r=3，
即⊙O的半径是3．

 ②∵由（1）知：OE∥AD，
∴=，△COE∽△CAD，
∴=，=，
∴DE=，=，
∴=，
∴AD=，
连接BE、EF，
∵AB是直径，
∴∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵B、E、A、F四点共圆，
∴∠EFD=∠ABE，
∵AE平分∠CAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE+∠EFD=90°，
∵ED⊥AD，
∴∠FED+∠EFD=90°，
∴∠DAE=∠FED，
∵∠D=∠D，
∴△EFD∽△AED，
∴=，
∴DF===．
分析：（1）连接OE，证OE∥AD，即可得出OE⊥CD根据切线判定推出即可．
（2）证△COE∽△CAD，求出DE，AD，证△DEF∽△DAF，推出DE²=DF×AD，即可求出DF．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，平行线性质，等腰三角形性质的应用，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．