Question

【题目】如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设⊙B, ⊙M′都与直线l′相切，半径分别为R1、R2 ， 当R1+R2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，3），
又∵抛物线y=ax2-2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴a+4=3，
∴a=-1,
∴抛物线解析式为：y=x2+2x+3 .
（2）解：由（1）知抛物线解析式为y=x2+2x+3 ，
令y=0，
∴x2+2x+3=0 ，
∴x1=3，x2=-1，
设M（m，m2+2m+3 ），
又∵点M在第一象限，
∴0m3，
又∵A（1，0），B（0，3），
∴S=SΔABM=S四边形OAMBSRtΔAOB，
=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB，
=×OB×xM+×OA×yM×OA×OB，
=×3×m+×1×（m2+2m+3）-×1×3，
=m2+m ,
=-（m-）2+，
∴当m=时，Smax＝.
（3）解：①由（2）知当m=时，Smax＝.
∴y=-+5+3=，
∴M′（，）.
②如图：作BD⊥l′于点D，M′E⊥l′于点E，
∵⊙B, ⊙M′都与直线l′相切，
∴BD=R1，M′E=R2，
∴S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′，
即S=×AC×BD+×AC×M′E=×AC×（R1+R2），
当R1+R2最大时，AC就取得最小值，
∴AC⊥BM′时，AC取得最小值，
又∵M′（，），B（0，3），
∴BM′=,
∴S=××AC=.
∴AC=，
∵A（1，0），B（0，3），
∴AB=，
在Rt△ACB中，
∴cos∠BAD===，
∴∠BAD=45°，
即直线l′旋转的角度45°.


【解析】（1）由直线解析式与坐标轴的交点即可得A（1，0），B（0，3），再将B点坐标代入抛物线求出a值，从而得出抛物线解析式.
（2）由（1）知抛物线解析式为y=x2+2x+3 ，A（1，0），B（0，3），设M（m，m2+2m+3 ），令y=0，结合已知条件即可得m的取值范围为：
0m3，再由S=S四边形OAMBSRtΔAOB=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB，代入即可得出S=m2+m ,根据二次函数的性质即可求出最大值.
（3）①由（2）知当m=时，Smax＝.将m=代入抛物线解析式即可求出M的纵坐标，即M′（，）.
②作BD⊥l′于点D，M′E⊥l′于点E根据切线性质得BD=R1，M′E=R2，由三角形面积公式S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′=×AC×（R1+R2），当R1+R2最大时，AC就取得最小值，即AC⊥BM′时，AC取得最小值，根据两点间距离得BM′=,AB=，代入即可得AC=，在Rt△ACB中，由锐角三角函数定义得cos∠BAD===，根据特殊角的三角函数值即可得∠BAD=45°，即直线l′旋转的角度45°.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和三角形的面积，需要了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；三角形的面积=1/2×底×高才能得出正确答案．