Question

 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是

圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过

点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC

于点M，交过点C的直线于点P，且ÐBCP=ÐACD。

   (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：

   (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。

 

  

Answer 1

解析：  (1) 直线PC与圆O相切。

           如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。

           ∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。

           ∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。

           ∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。

           ∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。

           ∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。

           ∴ÐPCO=90°，即PC^OC。

           又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。

               

(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。

           ∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。

           ∴MC=MB。∴AB=AC。

           在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，

           由勾股定理，得AM===6。

           设圆O的半径为r。

           在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，

           由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，即(6-r)²+3²=r²。解得r= 。

           在△OMC和△OCP中，

           ∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，

           ∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。

           ∴PC= 。