Question

【题目】如图，△ABC是钝角三角形，，圆O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ与BC的交点为D，，l为过点C圆的切线，作，CF也为圆的直径.

（1）证明：；

（2）已知圆O的半径为3，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证得CF//DE得到∠BCF=∠CDE，再证出∠CED=∠CBF=90°即可得到答案；

（2）连接AF，先证得△ADB为等腰直角三角形，得到∠ADB=∠ADC=90°，再求出AC=CF×sin45°=，即可得到答案.

（1）∵CF为直径，l为切线，

∴，

又∵，

∴CF//DE，

∴∠BCF=∠CDE.

又∠CED=∠CBF=90°，

∴；

（2）连接AF，

由题意得：∠CDP=∠BDM=45°，

∵M为弦AB的中点，

∴OM垂直平分线段AB，

∴∠ADM=∠BDM=45°，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴，

∵∠AFC=∠ABC=45°，

∴AC=CF×sin45°=，

∴.