Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．

（1）求证：BA＝BC；

（2）若AG＝2，cosB＝，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连结OD，如图，根据切线的性质得OD⊥DF，而DF⊥BC，根据平行线的判定得到OD∥BC，然后利用平行线的性质和等量代换可得∠OAD=∠C，则根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；

（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，由平行线的性质得cos∠DOG=cosB=，则在Rt△ODG中利用余弦可计算出r=3，再在Rt△ODH中利用余弦可求出OH=，则AH=，利用勾股定理可计算出AD，然后证明DE=AD即可．

（1）证明：连结OD，如图，

∵DF为切线，

∴OD⊥DF，

∵DF⊥BC，

∴OD∥BC，

∴∠ODA＝∠C，

而OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠OAD＝∠C，

∴BA＝BC；

（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，

∵OD∥BC，

∴∠B＝∠DOG，

∴cos∠DOG＝cosB＝，

在Rt△ODG中，∵cos∠DOG＝，即，

∴r＝3，

在Rt△ODH中，∵cos∠DOH＝，

∴OH＝，

∴AH＝3﹣＝，

在Rt△ADH中，AD＝，

∵∠DEC＝∠C，

∴DE＝DC，

而OA＝OB，OD∥BC，

∴AD＝CD，

∴DE＝AD＝．