Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．
（1）求证：∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；
（2）若PA=10，sinP=

3

5

，求PE的长．

Answer 1

（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴AP：AB=AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，
∴AD=CD，
∴AP：AB=CD：BC，
∴PA•BC=AB•CD；

（2）方法一：
∵sinP=

3

5

，且AP=10，
∴

AD

AP

=

3

5

，
∴AD=6，
∴AC=2AD=12，
∵在Rt△ADP中，PD=

AP2-AD2

=8，
又∵△PAD∽△ABC，
∴AP：AB=PD：AC，
∴AB=

10×12

8

=15，
∴A0=OE=

15

2

，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP=

AP2+OA2

=

25

2

，
∴PE=OP-OE=

25

2

-

15

2

=5．
方法二：
由sinP=

3

5

=

AO

PO

，设OA为3x，PO为5x，
由勾股定理得PA为4x，
∵PA=10，∴x=2.5，
∴OA=7.5，OP=12.5，
又∵OE=OA=7.5，
∴PE=OP-OE=5．