Question

【题目】如图，矩形的边，，点是对角线上一点，点是的中点，连接，若是等腰三角形，则的长为__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

连结PD，PE，作EM⊥AC于M，DN⊥AC于N，分DE=PE，PE=PD，PD=DE三种情况讨论求解即可．

解：如图，连结PD，PE，作EM⊥AC于M，DN⊥AC于N，

∵点E是BC的中点，
当DE=PE时，此时P于点A重合，
∵矩形ABCD的边AD=1，AB=2，
∴AC=，
∴CP的长为；
当PE=PD=x时，
在Rt△CME中，CM=CEcos∠ECM=，

EM=CEsin∠ECM=，
在Rt△PME中，PE2=EM2+PM2=（x）2+（）2＝x2x+，
同理，PD2=x2x+4，
∴x2x+＝x2x+4，
解得：x=，
当PD=DE时，不符合题意，舍去．
故答案为：或．