Question

6．如图，直线y=-2x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，与x轴交于点C，若AB=2BC，则k=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 直线y=-2x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，过A作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，直线y=-2x+4与x轴的交点为（2，0），根据相似三角形的性质列方程$\frac{2-\sqrt{4-2k}}{2+\sqrt{4-2k}}$=$\frac{1}{3}$，即可得到结果．

解答 解：∵直线y=-2x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2-\sqrt{4-2k}}{2}}\\{{y}_{1}=2+\sqrt{4-2k}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2+\sqrt{4-2k}}{2}}\\{{y}_{1}=2-\sqrt{4-2k}}\end{array}\right.$，
过A作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵直线y=-2x+4与x轴的交点为（2，0），
∴OC=2，
∵AB=2BC，
∵△BCE∽△CAD，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{2-\sqrt{4-2k}}{2+\sqrt{4-2k}}$=$\frac{1}{3}$，
∴k=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．