Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．
（1）证明BF是⊙O的切线；
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．

Answer 1

分析：（1）根据OB=OC，可得∠BCO=∠CBO，再由FC=FB，得∠FCB=∠FBC，从而得出∠FBO=90°，即可证出结论；
（2）由∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°，可得CF=MF，易证△ACB∽△ABM，则

AC

AB

=

AB

AM

．由勾股定理求得BM，根据三角函数得出∠MCF的大小．

解答：证明：连接OF．
（1）∵CF⊥OC，
∴∠FCO=90°．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO．
∴∠BCO+∠FCB=∠CBO+∠FBC．
即∠FBO=∠FCO=90°．
∴OB⊥BF．
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线（2分）

（2）∵∠FBO=∠FCO=90°，
∴∠MCF+∠ACO=90°，∠M+∠A=90°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A．
∴∠FCM=∠M．（3分）
∵∠ACB=∠ABM=90°，∠A是公共角，
∴△ACB∽△ABM，
∴

AC

AB

=

AB

AM

．
∵AB=4，MC=6，
∴4²=AC（AC+6），
∴AC=2（4分）
∴AM=8，BM=

AM2-AB2

=4

3

．
∴cos∠MCF=cosM=

BM

AM

=

3

2

．
∴∠MCF=30°（5分）

点评：本题是一道综合题，考查了直线与圆的位置关系、切线的判定和性质和相似三角形的判定和性质等知识点，难度较大．