Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）、（2）证明见解析（3）108

【解析】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。

（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。

 由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF。

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°。

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。

（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。

又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCD 为正方形。 ∴AG＝BC。

已知∠DCE＝45°，

根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。

∴10=4+DG，即DG=6。

设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，

在Rt△AED中，∵DE²=AD²＋AE²，即10²=（x－6）²＋（x－4）²。

解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。

∴AB=12。

∴。

∴梯形ABCD的面积为108。

（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。

（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，从而可得GE=BE+GD。

（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。