Question

（9分）（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S_△CBK：S_△PBQ=5：2，求K点坐标．

Answer 1

（1）y=x²﹣x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
（3）K₁（1，﹣），K₂（3，﹣）

解析试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S_△PBQ与t的函数关系式S_△PBQ=﹣（t﹣1）²+．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m²﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S_△CBK=．则根据图形得到：S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m²+3m=．易求得K₁（1，﹣），K₂（3，﹣）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax²+bx﹣3（a≠0），得
，
解得 ，
所以该抛物线的解析式为：y=x²﹣x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴=，即=，
∴HQ=t．
∴S_△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t²+t=﹣（t﹣1）²+．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S_△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，m²﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．

∴EK=m﹣3﹣（m²﹣m﹣3）=﹣m²+m．
当△PBQ的面积最大时，∵S_△CBK：S_△PBQ=5：2，S_△PBQ=．
∴S_△CBK=．
S_△CBK=S_△CEK+S_△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）
=×4•EK
=2（﹣m²+m）
=﹣m²+3m．
即：﹣m²+3m=．
解得 m₁=1，m₂=3．
∴K₁（1，﹣），K₂（3，﹣）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．