Question

如图，对于任意△ABC，分别以它的三边为边长作一个正方形．求证：S_△AGM+S_△BHP+S_△CNQ=3S_△ABC．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：可以利用正方形的性质和平移的性质，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，通过证明三角形全等，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，然后再证明S_△DIK=3S_△ABC，就可以得出结论．

解答：证明：把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，
使A、C重合于B，F、G重合于I，连接DI，BI，KI，
∴△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，
∵∠EAF+∠BAC+∠ABC+∠GCH+∠ACB+∠DBK=540°，且∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，
∴可拼成一个△DIK，
把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，
∵∠ACB+∠GCH=180°，
∴∠ACB+∠BCG′=180°
∴A，C，G′在一条直线上，且C为AG′的中点．
∴S_△BCG′=S_△ABC，
∴S_△BIK=S_△ABC，
同理S_△DBK=S_△DBI=S_△ABC，
∴由DK、EF、GH为三边构成的△DIK的面积S_△DIK=3S_△ABC．
∴S_△AGM+S_△BHP+S_△CNQ=3S_△ABC．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，三角形全等的判定与性质的运用，图形的旋转和平移的运用，邻补角的性质的运用，解答时运用图形的旋转和平移是解答问题的关键．