Question

如图所示，OACB是矩形，C（a，b），点D为BC中点，反比例函数y=

4

x

的图象经过点D且交AC于点E．
（1）求证：△AOE与△BOD的面积相等；
（2）求证：点E是AC的中点；
（3）当OE⊥DE时，试求OB²-OA²的值．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函数图象上点的坐标性质得出△AOE与△BOD的面积即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，进而得出E点是AC的中点；
（3）利用OE⊥DE得出△AOE∽△CED，进而得出BO与AO的关系，进而利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可．

解答：（1）证明：∵E，D点都在反比例函数图象上，
∴E，D横纵坐标乘积相等，
∵△AOE为

1

2

×AO×AE=

1

2

xy=2，△BOD的面积为：

1

2

×BO×DB=

1

2

xy=2，
∴△AOE与△BOD的面积相等；

（2）证明：∵点D为BC中点，△AOE与△BOD的面积相等，即

1

2

×AO×AE=

1

2

×BO×DB，
∴

1

2

×2BD×AE=

1

2

×BO×DB，
∴2AE=BO，
∴点E是AC的中点；

（3）解：∵OE⊥DE，
∴∠CED+∠AEO=90°，
又∵∠AOE+∠AEC=90°，
∴∠AEO∠CDE，
∵∠OAE=∠C，
∴△AOE∽△CED，
∴

AO

EC

=

AE

CD

，
∵AE=EC，CD=BD
∴AE²=AO×CD=AO×

1

2

AO=

1

2

AO²，
∴（

BO

2

）²=

1

2

AO²，
即BO²=2AO²，则BO=

2

AO，
∴BO×BD=

2

AO×

1

2

AO=

2

2

AO²=k=4，
∴OB²-OA²=AO²=4÷

2

2

=4

2

．

点评：此题主要考查了反比例函数综合应用以及相似三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标性质等知识，根据数形结合和得出AO与BO的关系是解题关键．