Question

4．如图，已知Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=45°．
（1）用尺规作图：在CA的延长线上截取AD=AB，并连接BD（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求∠BDC的度数．
（3）定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=$\frac{∠A的邻边}{∠A的对边}$，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．

Answer 1

分析 （1）以点A为圆心，AB为半径作弧交CA的延长线于D，然后连结BD；
（2）根据等腰三角形的性质，由AD=AB得∠ADB=∠ABD，然后利用三角形外角性质可求出∠ADB=22.5°；
（3）设AC=x，根据题意得△ACB为等腰直角三角形，则BC=AC=x，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$x，所以AD=AB=$\sqrt{2}$x，CD=（$\sqrt{2}$+1）x，然后在Rt△BCD中，根据余切的定义求解．

解答 解：（1）如图，

（2）∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
而∠BAC=∠ADB+∠ABD，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
即∠BDC的度数为22.5°；
（3）设AC=x，
∵∠C=90°，∠BAC=45°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴BC=AC=x，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$x，
∴AD=AB=$\sqrt{2}$x，
∴CD=$\sqrt{2}$x+x=（$\sqrt{2}$+1）x，
在Rt△BCD中，cot∠BDC=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）x}{x}$=$\sqrt{2}$+1，
即cot22.5°=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直角三角形．