Question

在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2

3

cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理得到∠BAC﹦∠BDC=60°，再根据三角形的内角和定理即可得到∠ABC；
（2）由（1）知，△ABC是等边三角形．连接AO并延长交BC于点E，根据等边三角形的性质得到圆心O既是△ABC的外心又是重心，还是垂心．然后利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AE，再得到半径OA．

解答：解：（1）∵∠BDC=60°，
∴∠BAC﹦60°﹒
又∠ACB﹦60°，
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°．

（2）由（1）知，△ABC是等边三角形．连接AO并延长交BC于点E（如图）．
∴圆心O既是△ABC的外心又是重心，还是垂心．
在Rt△AEC中，AC=2

3

cm，CE=

3

cm，
∴AE=

AC2-CE2

=3cm．
∴OA=

2

3

×3=2，
即O的半径为2cm．

点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等．也考查了等边三角形的性质．