Question

如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，△ABE、△ACF是等边三角形．
（1）试说明：△ABD∽△CAD；
（2）连接DE、DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据有两对角相等的两个三角形相似，证明即可；
（2）△DEF为直角三角形，首先根据等边三角形的性质证明∠EAD=∠DCF，由（1）可知

AB

CA

=

AD

CD

，即

AE

CF

=

AD

CD

，所以△AED～△CFD，利用相似三角形的性质证明∠EDF=90°即可．

解答：（1）证明：∵在RT△ABC中，AD为高
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ABD～△CAD；                  

（2）△DEF为直角三角形．理由如下：
证明∵△ABE与△ACF为正三角形，
∴∠BAE=∠ACF=60°，
∵∠1=∠3，
∴∠BAE+∠1=∠ACF+∠3，
即∠EAD=∠DCF，
∵△ABD～△CAD，
∴

AB

CA

=

AD

CD

，
即 

AE

CF

=

AD

CD

，
∴△AED～△CFD，
∴∠4=∠5，
∵∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF为直角三角形．

点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及直角三角形的判定，题目的综合性不小，难度中等．