Question

如图，二次函数（m＜4）的图象与x轴相交于点A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标（可用含字母m的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象相交于点C，且∠BAC的正弦值为 ，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）解方程，得x₁=-4，x₂=-m．
∵m＜4，∴A（-4，0），B（-m，0）．

（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D．
∵sin∠BAC==，
∴tan∠BAC==，
设CD=3k，则AD=4k．
∵OA=4，∴OD=4k-4，
∴C（4k-4，3k）．
∵点C在反比例函数）的图象上，∴=3k，
解得，k₁=-（不合题意，舍去），k₂=．∴C（2，）．
∵点C在二次函数的图象上，
∴×2²+（+1）×2+m=，∴m=1．
∴二次函数的解析式为．
分析：（1）用求根公式求得A，B两点的坐标，
（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为D．求得∠BAC的弦和正切值，设CD=3k，则AD=4k．又求得点C，由其反比例函数即求得二次函数解析式．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查了用求根公式求得A，B两点的坐标；考查了直角三角内的三角函数，以及反比例函数的求解．