Question

如图，AB是⊙O的直径，C是

BD

的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD﹦6，sin∠D=

3

5

，求⊙O的半径及CE的长．

Answer 1

分析：（1）要证明CF﹦BF，可以证明∠1=∠2；AB是⊙O的直径，则∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，则∠CEB﹦90°，则∠2﹦90°-∠A﹦∠1，∠1﹦∠A，则∠1=∠2，即可得到CF=BF．
（2）在直角三角形ACB中，AB²=AC²+BC²，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据sin∠D=

3

5

求得AC，即可±求得CE的长．

解答：（1）证明：∵C是

BD

的中点，
∴∠D=∠1
又∵∠A和∠D同对弦BC，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠2=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠2，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF

（2）∵C是

BD

的中点，CD﹦6，
∴BC=6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB²=AC²+BC²，
又∵BC=CD，
∴AB²=64+36=100，
∴AB=10，
∵sin∠D=

3

5

，
∴AC=8
∴CE=

AC•BC

AB

=

8×6

10

=

24

5

，
故⊙O的半径为5，CE的长是

24

5

．

点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．