Question

【题目】如图，为的直径，、为上两点，，，垂足为．直线交的延长线于点，连接．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）EF与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析．

【解析】

(1)连接OC，由题意可得∠OCA=∠FAC=∠OAC，可得OC∥AF，可得OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；

(2) 连接BC，根据直径所对圆周角是直角证得△ACF∽△ABC，即可证得结论．

(1)EF与⊙O相切，

理由如下：

如图，连接OC，

∵，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠FAC，

∴OC∥AF，

又∵EF⊥AF，

∴OC⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

(2)连接BC，

∵AB为直径，

∴∠BCA=90°，

又∵∠FAC=∠BAC，

∴△ACF∽△ABC，

∴，

∴．