Question

如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．

Answer 1

分析：（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，△CPQ与△CAB的面积比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；
（2）由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形ABQP的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长；
（3）因为不能确定哪个角是直角，故应分类讨论．
①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时．因为△CPQ∽△CAB，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值；
②∠PQM=90°时与①相同；
③当∠PMQ=90°，且PM=MQ时，过M作ME⊥PQ，则ME=

1

2

PQ，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值．

解答：解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S_△PQC=S_{四边形PABQ}，
∴S_△PQC：S_△ABC=1：2，
∴

CP

CA

=

1 2

=

2

2

，
∴CP=

2

2

•CA=2

2

；

（2）∵△PQC∽△ABC，
∴

CP

CA

=

CQ

CB

=

PQ

AB

，
∴

CP

4

=

CQ

3

，
∴CQ=

3

4

CP，
同理：PQ=

5

4

CP，
∴l_△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+

5

4

CP+

3

4

CP=3CP，
I_{四边形PABQ}=PA+AB+BQ+PQ，
=4-CP+AB+3-CQ+PQ
=4-CP+5+3-

3

4

CP+

5

4

CP
=12-

1

2

CP，
∴12-

1

2

CP=3CP
∴

7

2

CP=12
∴CP=

24

7

；

（3）∵AC=4，AB=5，BC=3
∴△ABC中AB边上的高为

12

5

①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时，

∵△CPQ∽△CAB
∴

PQ

AB

=

△CPQ的高

△CAB的高

∴

PQ

5

=

12 5 -PQ

12 5

∴PQ=

60

37

②当∠PQM=90°时与①相同
③当∠PMQ=90°，且PM=MQ时
过M作ME⊥PQ
则ME=

1

2

PQ
∴△CPQ的高为

12

5

-ME=

12

5

-

1

2

PQ
∴

PQ

AB

=

△CPQ的高

△CAB的高

∴

PQ

5

=

12 5 - 1 2 PQ

12 5

∴PQ=

120

49

．
综合①②③可知：点M存在，PQ的长为

60

37

或

120

49

．

点评：本题比较复杂，综合考查了相似三角形及直角三角形的性质，难度较大．