Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）

（1）当⊙O的半径为1时，

①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是　 　；

②已知点M在直线y＝﹣x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；

（2）已知点D，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T（t，﹣1），半径为1，若在△BCD上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①B；②0≤m≤；（2）﹣4+3≤t＜3

【解析】

（1））①根据“友好点”的定义，OB＝2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；

②设M（m，﹣m+2 ），根据“友好点”的定义，OM＝，解得0≤m≤；

（2）B（0，2），C（3，3），D，⊙T的圆心为T（t，﹣1），点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝HT，直线BD：y＝﹣x+2，H（t，﹣t+2 上），HT＝﹣t+2﹣（﹣1）＝﹣t+3，NT＝HT＝（﹣t+3）＝﹣t+，解出t的范围．

解：（1）①∵r＝1

∴根据“友好点”的定义，OB＝2r＝2

∴点B是⊙O“友好点”

OC＝3 >2r，不是⊙O“友好点”

A（1，0）在⊙O上，不是⊙O“友好点”

故答案为B；

②如图，

设M（m，﹣m+2 ），根据“友好点”的定义

∴OM＝

整理，得2m2﹣2m≤0

解得0≤m≤；

∴点M的横坐标m的取值范围：0≤m≤；

（2）∵B（0,2）,C（3,3）,D,⊙T的圆心为T（t,﹣1）,点N是⊙T“友好点”

∴NT≤2r＝2，

∴点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．

易知∠BDO＝30°，

∴∠OBD＝60°，

∴NT＝HT，

∵B（0，2），D，

∴直线BD：y＝﹣x+2，H（t，﹣t+2 上），

∴HT＝﹣t+2﹣（﹣1）＝﹣t+3，

∴NT＝HT＝（﹣t+3）＝﹣t+，

∴﹣t+≤2，

∴t≥﹣4+，

当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝，

此时点N不是“友好点”，

∴t＜，

故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+≤t＜．