Question

4．如图，已知直线l₁：y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l₁向下平移4个单位长度后得到直线l₂，直线l₂与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△AOB的面积；
（2）直线l₂的函数表达式是y=-$\frac{3}{4}$x+2．
（3）若点P是折线CAB上一点，且S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，请求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令y=-$\frac{3}{4}$x+6中x、y=0求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点B、A的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（2）根据直线l₁的函数表达式结合“上加下减”的平移规则即可得出直线l₂的函数表达式；
（3）根据直线l₂的函数表达式利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点C、D的坐标，进而即可求出S_{四边形ABCD}的值，设点P的横坐标为m（0＜m≤8），根据三角形的面积公式结合S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}即可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再根据m的值利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x+6=6，
∴点B的坐标为（0，6）；
当y=-$\frac{3}{4}$x+6=0时，x=8，
∴点A的坐标为（8，0）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×8×6=24．
（2）∵将直线l₁向下平移4个单位长度后得到直线l₂，
∴直线l₂的函数表达式是y=-$\frac{3}{4}$x+6-4=-$\frac{3}{4}$x+2．
故答案为：y=-$\frac{3}{4}$x+2．
（3）当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$x+2=2，
∴点D的坐标为（0，2）；
当y=-$\frac{3}{4}$x+2=0时，x=$\frac{8}{3}$，
∴点C的坐标为（$\frac{8}{3}$，0）．
∴S_{四边形ABCD}=S_△AOB-S_△COD=24-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$=$\frac{64}{3}$．
设点P的横坐标为m（0＜m≤8），
∵S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴BD•m=（6-2）m=$\frac{64}{3}$，
解得：m=$\frac{16}{3}$，
∵$\frac{8}{3}$＜$\frac{16}{3}$＜8，且当x=$\frac{16}{3}$时，y=-$\frac{3}{4}$x+6=-$\frac{3}{4}$×$\frac{16}{3}$+6=2，
∴点P的坐标为（$\frac{16}{3}$，0）和（$\frac{16}{3}$，2）．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解一元一次方程，熟练掌握图形平移的规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．