Question

△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，D是

BC

的中点，AD=a，则四边形ABDC的面积为

 

．

Answer 1

分析：根据题意求得∠DBC=∠DCB=30°，设BD=DC=x，那么BC=

3

x，由正弦定理和托勒密定理AB+AC=

3

a，再根据S_{四边形ABDC}=S_△ABD+S_△ACD，从而求得答案．

解答：解：解法一：在ABDC中，∠BAC=60度，所以∠BDC=120°，
∵点D是弧BC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
在△BDC中用正弦定理，得
∴BC=

3

BD，
设BD=DC=x，那么BC=

3

x，
用托勒密定理：AD•BC=AB•DC+BD•AC，
即

3

ax=x•AB+x•AC，
则AB+AC=

3

a，
S_{四边形ABDC}=S_△ABD+S_△ACD=

1

2

（AB•AD•sin∠BAD+AC•AD•sin∠DAC），
=

1

2

（AB+AC）AD•sin30°，
=

3

4

a²；

解法二：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵D是

BC

的中点，
∴BD=CD，∠BAD=∠FAD，
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在Rt△DBE与Rt△DCF中，

DE=DF BD=CD

，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴S_△DBE=S_△DCF，
∴S_{四边形ABDC}=S_{四边形AEDF}，
∵点D是弧BC的中点，∠BAC=60°，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∵AD=a，
∴AE=AD•cos30°=

3

2

a，
DE=AD•sin30•=

1

2

a，
∴S_{四边形AEDF}=2S_△ADE=2×

1

2

×

3

2

a×

1

2

a=

3

4

a²．
故答案为：

3

4

a²．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，是竞赛题难度偏大．