Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．若∠ACB=60°
（1）求证：△CED为正三角形；
（2）求证：AD+BD=CD．

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=60°，AC=BC，易得△ABC是等边三角形，然后由圆周角定理，可得∠ADC=60°，则可得：△CED为正三角形；
（2）首先在DC上截取DF=AD，连接AF，易得△ADF是等边三角形，继而证得△CAF≌△BAD，继而证得结论．

解答：证明：（1）∵AC=BC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵CE=CD，
∴△CED为正三角形；

（2）在DC上截取DF=AD，连接AF，
∵∠ADC=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°，
∵∠CAB=60°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△CAF和△BAD中，

AC=AB ∠CAF=∠BAD AF=AD

，
∴△CAF≌△BAD（SAS），
∴CF=BD，
∴CD=DF+CF=AD+BD．

点评：此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．