Question

【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④方程ax2+bc+c=﹣2的根为x1=x2=﹣1；⑤若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1，其中正确的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．

②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，b2﹣4ac=8a＞0，据此解答即可．

③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可．

④根据顶点为（﹣1，0），可得方程ax2+bc+c=﹣2的有两个相等实根，

⑤根据点BC在对称轴右侧，y随x的增大而增大来判断即可．

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴左边，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c+2＞2，

∴c＞0，

∴abc＞0，

∴结论①正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，

∴△=0，

即b2﹣4a（c+2）=0，

∴b2﹣4ac=8a＞0，

∴结论②不正确；

∵对称轴x=﹣=﹣1，

∴b=2a，

∵b2﹣4ac=8a，

∴4a2﹣4ac=8a，

∴a=c+2，

∵c＞0，

∴a＞2，

∴结论③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c+2的顶点为（﹣1，0），

∴方程ax2+bx+c+2=0的根为x1=x2=﹣1；

∴结论④正确；

∵x＞﹣1，y随x的增大而增大，

∴y1＞y2，

∴结论⑤正确．

综上，可得正确结论的个数是2个：①③④⑤．

故选C．